การดำเนินการทวิภาคและสมบัติการสลับที่

ทางลัด: ความแตกต่างความคล้ายคลึงกันค่าสัมประสิทธิ์การเปรียบเทียบ Jaccardการอ้างอิง

ความแตกต่างระหว่าง การดำเนินการทวิภาคและสมบัติการสลับที่

การดำเนินการทวิภาค vs. สมบัติการสลับที่

ในทางคณิตศาสตร์ การดำเนินการทวิภาค หมายถึงการคำนวณที่ต้องเกี่ยวข้องกับตัวถูกดำเนินการสองค่า หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง หมายถึงการดำเนินการที่มีอาริตี้ (arity) เท่ากับสอง การดำเนินการทวิภาคสามารถคำนวณให้สำเร็จได้โดยใช้ฟังก์ชันทวิภาคหรือตัวดำเนินการทวิภาคอย่างใดอย่างหนึ่ง การดำเนินการทวิภาคบางครั้งถูกเรียกว่าเป็น dyadic operation ในภาษาอังกฤษเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับระบบเลขฐานสอง (binary numeral system) ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่คุ้นเคยเช่น การบวก การลบ การคูณ และการหาร เป็นต้น การดำเนินการทวิภาคบนเซต S คือความสัมพันธ์ f ที่จับคู่สมาชิกในผลคูณคาร์ทีเซียน S×S ไปยัง S ถ้าความสัมพันธ์ดังกล่าวไม่เป็นฟังก์ชัน แต่เป็นฟังก์ชันบางส่วน เราจะเรียกการดำเนินการนี้ว่า การดำเนินการ (ทวิภาค) บางส่วน ตัวอย่างเช่น การหารในจำนวนจริงถือว่าเป็นฟังก์ชันบางส่วน เพราะไม่นิยามการหารด้วยศูนย์ แต่บางครั้งในวิทยาการคอมพิวเตอร์ การดำเนินการทวิภาคอาจหมายถึงฟังก์ชันทวิภาคใดๆ ก็ได้ และถ้าความสัมพันธ์ f ให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นสมาชิกในเซต S เหมือนกับตัวตั้ง จะเรียกได้ว่าการดำเนินการทวิภาคนั้นมีสมบัติการปิด (closure) การดำเนินการทวิภาคเป็นส่วนสำคัญในโครงสร้างเชิงพีชคณิตในการศึกษาพีชคณิตนามธรรม ซึ่งใช้สำหรับสร้างกรุป โมนอยด์ กึ่งกรุป ริง และอื่นๆ หรือกล่าวโดยทั่วไป เซตที่นิยามการดำเนินการทวิภาคใดๆ บนเซตนั้น เรียกว่า แม็กม่า (magma) การดำเนินการทวิภาคหลายอย่างในพีชคณิตและตรรกศาสตร์มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่และสมบัติการสลับที่ และหลายอย่างก็มีสมาชิกเอกลักษณ์และสมาชิกผกผัน ตัวอย่างการดำเนินการที่มีคุณสมบัติทั้งหมดนี้เช่น การบวก (+) และการคูณ (*) บนจำนวนและเมทริกซ์ หรือการประกอบฟังก์ชัน (function composition) บนเซตเซตหนึ่ง ส่วนการดำเนินการที่ไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ยกตัวอย่างเช่น การลบ (−) และ การดำเนินการบางส่วน ที่ไม่มีสมบัตินี้เช่น การหาร (/) การยกกำลัง (^) และการยกกำลังซ้อน (tetration) (↑↑) การเขียนการดำเนินการทวิภาคส่วนมากใช้สัญกรณ์เติมกลาง (infix notation) เช่น a * b, a + b, หรือ a · b นอกจากนั้นก็เขียนอยู่ในรูปแบบของสัญกรณ์ฟังก์ชัน f (a, b) หรือแม้แต่การเขียนย่อด้วยวิธี juxtaposition เหลือเพียง ab ส่วนการยกกำลัง ปกติแล้วจะเขียนโดยไม่ใช้ตัวดำเนินการ แต่เขียนจำนวนที่สองด้วยตัวยก (superscript) แทน นั่นคือ ab บางครั้งอาจพบเห็นการใช้สัญกรณ์เติมหน้า (prefix notation) หรือสัญกรณ์เติมหลัง (postfix notation) ซึ่งอาจต้องใช้วงเล็บกำกั. ตัวอย่างแสดงสมบัติการสลับที่ของการบวก (3 + 2.

ฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน เป็นคำทับศัพท์จากภาษาอังกฤษ function สามารถหมายถึง.

การดำเนินการทวิภาคและฟังก์ชัน · ฟังก์ชันและสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

การบวก

แอปเปิล3 + 2.

การดำเนินการทวิภาคและการบวก · การบวกและสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

การลบ

"5 - 2.

การดำเนินการทวิภาคและการลบ · การลบและสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

การหาร

การหาร (division) ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการเลขคณิตที่เป็นการดำเนินการผันกลับของการคูณ และบางครั้งอาจมองได้ว่าเป็นการทำซ้ำการลบ พูดง่าย ๆ คือการแบ่งออกหรือเอาเอาออกเท่า ๆ กัน จนกระทั่งตัวหารเหลือศูนย์ (หารลงตัว) ถ้า เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0 แล้ว (อ่านว่า "c หารด้วย b") ตัวอย่างเช่น 6 ÷ 3.

การดำเนินการทวิภาคและการหาร · การหารและสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)

การดำเนินการ (Operation) ในทางคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์ หมายถึง การกระทำหรือลำดับขั้นตอนซึ่งสร้างค่าใหม่ขึ้นเป็นผลลัพธ์ โดยการรับค่าเข้าไปหนึ่งตัวหรือมากกว่า การดำเนินการสามารถแบ่งได้เป็นสองประเภทใหญ่ ๆ ได้แก่ การดำเนินการเอกภาคและการดำเนินการทวิภาค การดำเนินการเอกภาคจะใช้ค่าที่ป้อนเข้าไปเพียงหนึ่งค่าเช่น นิเสธ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ส่วนการดำเนินการทวิภาคจะใช้สองค่าเช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร การยกกำลัง การดำเนินการสามารถเกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างอื่นที่นอกเหนือจากจำนวนก็ได้ ตัวอย่างเช่น ค่าเชิงตรรกะ จริง และ เท็จ สามารถใช้กับตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์อย่าง and, or, not; เวกเตอร์สามารถบวกและลบกันได้; ฟังก์ชันประกอบสามารถใช้เป็นการหมุนของวัตถุหลาย ๆ ครั้งได้; การดำเนินการของเซตมีทั้งแบบทวิภาคคือยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และแบบเอกภาคคือคอมพลีเมนต์ เป็นต้น การดำเนินการบางอย่างอาจไม่สามารถนิยามได้บนทุก ๆ ค่าที่เป็นไปได้ เช่น ในจำนวนจริง เราจะไม่สามารถหารด้วยศูนย์หรือถอดรากที่สองจากจำนวนลบ ค่าเริ่มต้นสำหรับการดำเนินการได้นิยามมาจากเซตเซตหนึ่งที่เรียกว่าโดเมน และเซตที่เป็นผลลัพธ์เรียกว่าโคโดเมน แต่ค่าที่แท้จริงที่เกิดจากการดำเนินการนั้นอาจออกมาเป็นเรนจ์ อาทิการถอดรากที่สองในจำนวนจริงจะให้ผลลัพธ์เพียงจำนวนที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นโคโดเมนคือเซตของจำนวนจริง แต่เรนจ์คือเซตของจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น การดำเนินการอาจเกี่ยวข้องกับวัตถุสองชนิดที่ต่างกันก็ได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถคูณเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกลาร์เพื่อเปลี่ยนขนาดของเวกเตอร์ และผลคูณภายใน (inner product) ของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์ออกมาเป็นสเกลาร์ การดำเนินการหนึ่ง ๆ อาจจะมีหรือไม่มีสมบัติบางอย่าง เช่นสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม การสลับที่ และอื่น ๆ ค่าที่ใส่เข้ามาในการดำเนินการอาจเรียกว่า ตัวถูกดำเนินการ, อาร์กิวเมนต์, ค่ารับเข้า ส่วนค่าที่ได้ออกไปจากการดำเนินการเรียกว่า ค่า, ผลลัพธ์, ค่าส่งออก การดำเนินการสามารถมีตัวถูกดำเนินการหนึ่งค่า สองค่า หรือมากกว่าก็ได้ การดำเนินการนั้นคล้ายกับตัวดำเนินการแต่ต่างกันที่มุมมอง ตัวอย่างเช่น หากใครคนหนึ่งกล่าวว่า "การดำเนินการของการบวก" จะเป็นการเน้นจุดสนใจไปที่ตัวถูกดำเนินการและผลลัพธ์ ในขณะที่อีกคนหนึ่งกล่าวว่า "ตัวดำเนินการของการบวก" จะเป็นการมุ่งประเด็นไปที่กระบวนการที่จะทำให้เกิดผลลัพธ์ หรือหมายถึงฟังก์ชัน +: S × S → S ซึ่งเป็นมุมมองนามธรรม.

การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)และการดำเนินการทวิภาค · การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)และสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

การคูณ

3 × 4.

การคูณและการดำเนินการทวิภาค · การคูณและสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

ในคณิตศาสตร์ สมบัติการเปลี่ยนหมู่ (associativity) เป็นสมบัติหนึ่งที่สามารถมีได้ของการดำเนินการทวิภาค ซึ่งนิพจน์ที่มีตัวดำเนินการเดียวกันตั้งแต่สองตัวขึ้นไป การดำเนินการสามารถกระทำได้โดยไม่สำคัญว่าลำดับของตัวถูกดำเนินการจะเป็นอย่างไร นั่นหมายความว่า การใส่วงเล็บเพื่อบังคับลำดับการคำนวณในนิพจน์ จะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์สุดท้าย ตัวอย่างเช่น นิพจน์ข้างซ้ายจะบวก 5 กับ 2 ก่อนแล้วค่อยบวก 1 ส่วนนิพจน์ข้างขวาจะบวก 2 กับ 1 ก่อนแล้วค่อยบวก 5 ไม่ว่าลำดับของวงเล็บจะเป็นอย่างไร ผลบวกของนิพจน์ก็เท่ากับ 8 ไม่เปลี่ยนแปลง และเนื่องจากสมบัตินี้เป็นจริงในการบวกของจำนวนจริงใดๆ เรากล่าวว่า การบวกของจำนวนจริงเป็นการดำเนินการที่ เปลี่ยนหมู่ได้ (associative) ไม่ควรสับสนระหว่างสมบัติการเปลี่ยนหมู่กับสมบัติการสลับที่ สมบัติการสลับที่เป็นการเปลี่ยนลำดับของตัวถูกดำเนินการในนิพจน์ ในขณะที่สมบัติการเปลี่ยนหมู่ไม่ได้สลับตัวถูกดำเนินการเหล่านั้น เพียงแค่เปลี่ยนลำดับการคำนวณ เช่นตัวอย่างต่อไปนี้ ไม่ใช่ตัวอย่างของสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เพราะว่า 2 กับ 5 สลับที่กัน การดำเนินการเปลี่ยนหมู่ได้มีมากมายในคณิตศาสตร์ และด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าโครงสร้างเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่จำเป็นต้องมีการดำเนินการทวิภาคที่เปลี่ยนหมู่ได้เป็นส่วนประกอบ อย่างไรก็ตามการดำเนินการหลายอย่างที่สำคัญก็ เปลี่ยนหมู่ไม่ได้ หรือ ไม่เปลี่ยนหมู่ (non-associative) เช่นผลคูณไขว้ของเวกเตอร.

การดำเนินการทวิภาคและสมบัติการเปลี่ยนหมู่ · สมบัติการสลับที่และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ · ดูเพิ่มเติม »

จำนวนจริง

ำนวนจริง คือจำนวนที่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งกับจุดบนเส้นตรงที่มีความยาวไม่สิ้นสุด (เส้นจำนวน) ได้ คำว่า จำนวนจริง นั้นบัญญัติขึ้นเพื่อแยกเซตนี้ออกจากจำนวนจินตภาพ จำนวนจริงเป็นศูนย์กลางการศึกษาในสาขาคณิตวิเคราะห์จำนวนจริง (real analysis).

การดำเนินการทวิภาคและจำนวนจริง · จำนวนจริงและสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

คณิตศาสตร์

ยูคลิด (กำลังถือคาลิเปอร์) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ในสมัย 300 ปีก่อนคริสตกาล ภาพวาดของราฟาเอลในชื่อ ''โรงเรียนแห่งเอเธนส์''No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see ''Euclid''). คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่มุ่งค้นคว้าเกี่ยวกับ โครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ซึ่งมีการให้เหตุผลที่แน่นอนโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ เรามักนิยามโดยทั่วไปว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับรูปแบบและโครงสร้าง, การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ กล่าวคร่าว ๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" เนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์ ในอดีตผู้คนจะใช้สิ่งของแทนจำนวนที่จะนับยิ่งนานเข้าจำนวนประชากรยิ่งมีมากขึ้น ทำให้ผู้คนเริ่มคิดที่จะประดิษฐ์ตัวเลขขึ้นมาแทนการนับที่ใช้สิ่งของนับแทนจากนั้นก็มีการบวก ลบคูณ และหาร จากนั้นก็ก่อให้เกิดคณิตศาสตร์ คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ.

การดำเนินการทวิภาคและคณิตศาสตร์ · คณิตศาสตร์และสมบัติการสลับที่ · ดูเพิ่มเติม »

เมทริกซ์

มทริกซ์ เป็นคำทับศัพท์ภาษาอังกฤษ matrix บ้างก็อ่านว่า แมทริกซ์ สามารถหมายถึง.

การดำเนินการทวิภาคและเมทริกซ์ · สมบัติการสลับที่และเมทริกซ์ · ดูเพิ่มเติม »

เซต (แก้ความกำกวม)

ซต สามารถหมายถึง.

การดำเนินการทวิภาคและเซต (แก้ความกำกวม) · สมบัติการสลับที่และเซต (แก้ความกำกวม) · ดูเพิ่มเติม »